De Wet van Hooke - werktuigbouwkundige sterkteberekening

Over Robert Hooke

De wet van Hooke is genoemd naar de Engelse natuurkundige Robert Hooke (1635–1703). Hooke was een veelzijdig wetenschapper en uitvinder, actief in mechanica, optica, astronomie en architectuur. In 1678 formuleerde hij zijn beroemde wet: “Ut tensio, sic vis”, wat betekent: “Zoals de uitrekking, zo de kracht”. Hiermee legde hij de basis voor de elastiteitsleer.

De meest basale wet die aan de basis ligt van de sterkteleer voor metalen binnen het elastisch spectrum is de Wet van Hooke.
De wet van Hooke beschrijft het lineaire verband tussen spanning en rek in het elastisch gebied van een materiaal. In formulevorm luidt de wet:

waarbij:

σ = spanning (in N/mm² of MPa)
E = elasticiteitsmodulus (in N/mm² of MPa)
ε = rek (vervormingsgraad, dimensieloos)

In het elastisch gebied geldt dat een materiaal na ontlasting weer terugkeert naar zijn oorspronkelijke vorm. De elasticiteitsmodulus E is materiaalafhankelijk. Voor constructiestaal S355 bedraagt deze ongeveer 210.000 MPa.

Trekproef op een rekstaafje

Bij een trekproef wordt een cilindrisch of genormaliseerd proefstaafje langzaam op trek belast in een rekbank. De kracht F wordt gelijkmatig opgevoerd, terwijl de verlenging en de optredende kracht worden gemeten. Hieruit worden de rek en de spanning bepaald. Zo ontstaat een spannings-rekdiagram.

Zie de afbeelding voor een schematische weergave van de proefopstelling en het typische verloop van de trekproef bij staal S355.

Spannings-rekdiagram van staal S355

Het diagram vertoont de volgende karakteristieke fasen:

Elastisch gebied (Hooke’s wet is geldig)
Lineair verband tussen spanning en rek. Geen blijvende vervorming.
Vloeigebied
Spanning blijft nagenoeg constant, terwijl de rek toeneemt. Het materiaal vloeit plastisch.
Verharding (strain hardening)
Extra spanning is nodig om verdere plastische vervorming te veroorzaken.
Breukgebied
Na het maximum neemt de spanning af tot het proefstaafje breekt. Dit punt heet het breukpunt.

Toepassingen van de wet van Hooke

De wet van Hooke wordt breed toegepast in de werktuigbouw, civiele techniek en materiaalkunde:

Ontwerp en dimensionering van constructieve onderdelen (balken, assen, platen)
Analyse van mechanische belastingen in bruggen, voertuigen, apparaten en machines
FEM-simulaties van elastisch gedrag
Veerkrachtige elementen zoals veren, rubberen afdichtingen en trillingsdempers
Inspectie van materiaalgedrag in de ontwerpfase of tijdens vermoeiingsproeven

Vooral bij de sterkteberekening van onderdelen is het elastisch gedrag vaak bepalend voor de belastingstoelaatbaarheid.

Wat is de elasticiteitsmodulus E?

De elasticiteitsmodulus E (ook wel Young’s modulus) is een materiaaleigenschap die de stijfheid van een materiaal in het elastisch gebied weergeeft. Het beschrijft hoe moeilijk het is om een materiaal elastisch te rekken of samen te drukken.

De formule:

Hierin is:

σ = spanning (in MPa = N/mm²)
ε = rek (verhouding, dus dimensieloos)

De modulus E is dus de helling van het spannings-rekdiagram in het lineaire elastische gebied. Hoe steiler die lijn, hoe stijver het materiaal.

Hoe komt men aan de waarde van E=210.000 MPa voor staal?

De waarde van E wordt bepaald door experimenteel onderzoek in een trekproef:

Een proefstaafje van het materiaal wordt in een trekbank geplaatst.
De kracht F en verlenging ΔL worden nauwkeurig gemeten.
De spanning wordt berekend uit:

waarbij A het oorspronkelijke dwarsdoorsnede-oppervlak is.

De rek wordt berekend uit:

waarbij L₀ de oorspronkelijke lengte is.

In het lineaire elastische gebied (de rechte lijn aan het begin van het spannings-rekdiagram) wordt σ gedeeld door ε, wat leidt tot de waarde van E.

Voor constructiestaal (zoals S355) ligt deze waarde rond de 210.000 MPa, dat betekent:

Als je een staaf van 1 meter lengte een spanning geeft van 210 MPa,
Zal hij slechts 0,1% langer worden — dus 1 mm rek per meter lengte.

Deze waarde staat dus voor de verhouding tussen spanning en rek zolang het materiaal zich nog elastisch gedraagt. Het is een maat voor de veerkracht/stijfheid van het materiaal.

Samengevat:

E is een fundamentele materiaaleigenschap.
Wordt bepaald uit de lineaire helling van het spannings-rekdiagram.
Voor S355-staal is dat ongeveer 210.000 MPa, dus het kost 210 MPa aan spanning om een rek van 1 mm/m te veroorzaken zolang het materiaal elastisch is.