Bijna iedereen kent wel het verschijnsel van het knikken. Knikken gebeurt ogenschijnlijk onverwacht en plotseling. Een simpele manier om het knikken van verticale kolommen te demonstreren is door een rietje verticaal op de tafel te zetten en er dan bovenop te duwen. Het rietje zal dan bij toenemende druk van de hand in het midden eerst iets uitbuigen en daarna al snel en plotseling doorknikken, waarna het vrijwel geen weerstand meer biedt. Het rietje werd instabiel en is vervolgens bezweken ten gevolge van het overschrijden van de kritische knikspanning. Een lang rietje zal veel eerder knikken dan een kort rietje. Als je het rietje heel kort maakt dan zal het uiteindelijk niet meer knikken maar verproppeld in elkaar gedrukt worden. Het rietje is is dan bezweken ten gevolge van druk. In deze uitleg beperk ik me tot het knikken van verticale kolommen welke verticaal worden belast zonder zijdelingse belasting.
De grondleggers
Leonhard Euler
Leonhard Euler (Bazel, 15 april 1707 – Sint-Petersburg, 18 september 1783) was een Zwitserse wiskundige en natuurkundige die het grootste deel van zijn leven doorbracht in Rusland en Duitsland. Hij wordt algemeen beschouwd als de belangrijkste wiskundige van de 18e eeuw en als één van de belangrijkste aller tijden. Bovendien was hij de meest productieve wiskundige ooit: zijn verzameld werk beslaat zo’n zeventig delen. Eén van zijn werken betrof de studie naar het knikken van verticale kolommen en het opstellen van formules daaromtrent.
bron: wikipedia
John Bertrand Johnson
John Bertrand Johnson (2 oktober 1887 – 27 november 1970) was een in Zweden geboren Amerikaanse elektrotechnisch ingenieur en natuurkundige. Hij stelde onder andere ook formules op voor het berekenen van de kritische knikspanning van kolommen met kleinere slankheid. Dit als alternatief voor de kritische belastingsformule van Euler, die niet langer geldig bleken voor kortere kolommen.
bron: wikipedia
Korte en lange kolommen
In de techniek gaat het meestal niet om rietjes maar om werktuigbouwkundige, bouwkundige of andere technische elementen. Zoals bijvoorbeeld dragende kolommen van profielstaal om bijvoorbeeld vloeren te dragen. Of de poten van een opslagtank. Of bijvoorbeeld de zuigerstang van een hydraulische cilinder. Deze technische elementen worden allen op druk belast en beschouwen we in deze uitleg als knikken van verticale kolommen. Gemakshalve zullen we al deze elementen in deze verhandeling “kolommen” noemen. Korte kolommen knikken zodra de drukspanning de druksterkte van het materiaal overschrijdt. Lange kolommen en kolommen zullen echter al knikken voordat de drukspanning de vloeisterkte van het materiaal heeft bereikt.
Symmetrische belasting
Lange kolommen met belastingen langs de centrale as worden ofwel geanalyseerd met de Euler-formule, terwijl voor kortere kolommen met de Johnson-formule worden geanalyseerd. Elke formule is dus uitsluitend toepasbaar voor een zekere verhouding tussen de lengte en de doorsnede. Dit wordt de slankheid genoemd. Hoe slanker, des te eerder knik zal optreden.
Kolom eind-ondersteuning
Niet alleen de slankheid is bepalend voor de gevoeligheid voor knik. Ook de manier van het inklemmen van een kolom is medebepalend daarvoor. De uiteinden van een kolom kunnen op diverse wijze zijn verbonden met zijn druk leverende omgeving. Ook is het mogelijk dat de kolom aan één zijde geheel vrij is. Denk bijvoorbeeld aan een hoge TV-mast met bovenin zware apparatuur. De mast is vast met de grond verankerd. De apparatuur drukt naar beneden, maar kan, tegen de elastische buigweerstand van de mast in, desondanks vrij heen en weer bewegen. Zo zal een kolom met een inklemming als van de TV-mast, veel eerder knikken dan een kolom die aan beide uiteinden in beton is ingestort. De wijze van inklemming wordt in rekening gebracht met een K-factor
Effectieve kolomlengte
De effectieve lengtefactor K wordt gebruikt om kolommen met verschillende inklemmingen in de juiste verhouding te brengen. De effectieve kolomlengte is de lengte van een equivalent vastgezette kolom en wordt berekend met:
waarbij Leff de effectieve lengte is en L de werkelijke niet-ondersteunde lengte van de kolom. De theoretische effectieve lengte van een vaste-vrije kolom is bijvoorbeeld 2L. De vast-vrije kolom is dus twee keer zo gevoelig voor knikken als een 2x scharnierend bevestigde kolom, zodat de vast-vrije kolom in feite twee keer zo lang is als een 2x scharnierend bevestigde kolom en zal dus knikken onder de helft van de belasting. Een andere manier om dit te benaderen is: om de twee kolommen onder dezelfde belasting te laten knikken, moet de 2x scharnierend bevestigde kolom twee keer zo lang zijn als de vast-vrije kolom.
Alternatieve eindondersteuning factor C
Een alternatief voor de effectieve lengtefactor, K, is de eindcoëfficiënt, C.
De eindcoëfficiënt C en de effectieve lengtefactor K zijn gerelateerd volgens:
Slankheid en de grens tussen lange en kortere kolommen
Zoals al besproken, de slankheid is mede bepalend voor de gevoeligheid voor knik. Kolommen met een hoge slankheid – dus lang en dun- zijn gevoeliger voor knikken en worden geclassificeerd als “lange” kolommen. Lange kolommen worden geanalyseerd met de Euler-formule. Kolommen met een kleinere slankheid worden geclassificeerd als “gemiddelde” kolommen en worden geanalyseerd met de Johnson-formule. De grens tussen lange en kortere kolommen heet de overgangsslankheidsverhouding en is gelijk aan de waarde van de slankheidsverhouding waarbij de Euler-kritische spanning, σcr, gelijk is aan de helft van de vloeigrens van het materiaal, Sy De overgangsslankheidsverhouding van lange naar gemiddelde kolommen kan worden berekend met:
Kolommen met een slankheidsverhouding die kleiner is dan de overgangsslankheidsverhouding (dus minder slank) worden als gemiddelde kolommen beschouwd. Kolommen met een slankheidsverhouding die groter is (dus slanker) dan de overgangsslankheidsverhouding worden als lange kolommen beschouwd.
De Euler formule voor knik in lange kolommen
In de bovenstaande formule is
σcr de kritische spanning (de gemiddelde spanning waarbij de kolom zal knikken)
Pcr de kritische kracht waarbij de kolom zal knikken
A de oppervlakte van de dwarsdoorsnede
L de lengte van de kolom tussen twee ondersteuningen
r de traagheidsstraal van de dwarsdoorsnede
E de elasticiteitsmodulus van het materiaal
K de effectieve lengtefactor, welke afhankelijk is van de soort kolomeind ondersteuning.
Johnson-formule voor gemiddelde kolommen
De Euler-formule is dus alleen geldig voor lange kolommen onder een centraal aangebrachte belasting. Voor kortere (gemiddelde) kolommen zal de Euler-formule namelijk zeer hoge waarden geven die in de praktijk niet werkelijk zullen optreden. Om hier nu mee rekening te houden wordt voor gemiddelde kolommen een correctiecurve gebruikt die gedefinieerd is door onderstaande formule van Johnson:
Euler formule versus Johnson formule
De onderstaande grafiek laat de Euler-curve (rood) zien voor een vastgezette kolom. Naarmate de kolomlengte nadert tot nul, dus dikker en/of korter wordt, m.a.w. minder slak wordt, dan nadert de kritische spanning volgens Euler het oneindige. De spanningen lopen dan dus onrealistisch en niet bestaand hoog op. De Johnson-formule wordt weergegeven als de blauwe curve en corrigeert de onrealistisch hoge kritische spanningen volgens die van Euler.
Lange kolommen, met slankheid Rs > Rtrans =>Euler
kortere kolommen met slankheid Rs < Rtrans => Johnson
Kolommen met excentrische belasting
In de praktijk werken belastingen vaak versprongen ten opzichte van de centrale as. Deze excentrische belastingen kunnen het gevolg zijn van ontwerp, of het gevolg zijn van afwijkingen die tijdens fabricage of montage zijn ontstaan. De excentriciteitsverhouding Re geeft het verband tussen de excentriciteit van de last en de afmetingen van de doorsnede:
waarbij e de excentriciteit is, c de zwaartepuntafstand en r de traagheidsstraal. Volgens James M. Gere zijn de waarden van de excentriciteitsverhouding meestal kleiner dan 1, maar typische waarden liggen tussen 0 en 3. Onvolkomenheden in een centraal geladen kolom worden gewoonlijk benaderd door een excentriciteitsverhouding van 0,25 te gebruiken.
Het Effect van excentriciteit t.o.v. centriciteit
Te zien is het effect van een excentrische belasting op een verticale pijp Ø100×6 met een lengte van 4 m en een belasting van 15 ton en aan beide uiteinden scharnierend bevestigd. Met een gecentreerde belasting (ideal, blauw) is de veiligheidsmarge FS tegen knik 1,64. Met een 30mm excentrische last is de is de veiligheidsmarge FS tegen knik slechts 0,75 en dus zal deze dan bezwijken.
maximale doorbuiging en maximale drukspanning
De hierboven berekende drukspanning houdt rekening met zowel de axiale spanning als de buigspanning door het optredend moment. De momentarm is een combinatie van zowel de excentriciteit als de maximale doorbuiging in de kolom. De kritische belasting is de waarde van de uitgeoefende kracht, P, waarbij de maximale drukspanning in de kolom gelijk is aan de drukvloeisterkte van het materiaal. Deze waarde van kritische kracht wordt Pcrit genoemd. De vergelijking voor maximale drukspanning kan niet direct worden opgelost voor Pcrit, en dus moet de oplossing iteratief worden gevonden. Merk op dat de vergelijking voor maximale drukspanning een functie is van de gemiddelde spanning, P/A, en dus is de waarde Pcrit/A de waarde van de gemiddelde spanning waarbij de maximale drukspanning in de kolom gelijk is aan de materiaalvloeigrens:
Samenvatting van vergelijkingen
Hieronder is een tabel met een samenvatting van de knikvergelijkingen met behulp van beide factoren K en C, geldend voor knikken van verticale kolommen.
In deze techno-rubriek , wordt uitleg gegeven over begrippen die bij sterkteberekeningen steeds centraal staan. Om onze opdrachtgevers iets meer inzicht te kunnen geven in deze materie, zullen er bij regelmaat essentiële onderwerpen worden behandeld. Hierdoor worden opdrachtgevers in staat gesteld om hun sterkteberekening behoefte beter en makkelijker te omschrijven. Maar ook om de sterkteberekening resultaten en rapporten beter te kunnen begrijpen. De onderwerpen zullen bij enige regelmaat worden gepubliceerd. Dus houd deze Techno-rubriek in de gaten en mis er niks van.